Correction du TD2

Exercice 2

Q3

VA=VF/(1+i)^n=500/(1+0.05)^6=373.13€

Exercice 3

Q4

K = B/(1+i) + B/(1+i)^2 = 500/(1+0.05) + 500/(1+0.05)^2 = 500/1.05 + 500/1.05^2 = 476.19 + 453.51 = 929.70 

– Q5 : Quelle est la valeur VKS de ce capital s’il est revendu S = 300 € à l’issue des2 ans ?

Réponse : 
VKS = VK+S/(i+i)²=929.70+300/(1+0.05)²=12012.81

Exercice n°4 :

Quelle est la valeur d’une rente perpétuelle VA qui rapporte une somme A = 50 € par an si :

 Q6 : le taux d’intérêt annuel i est à 8%

(cours) VA=A/(1+i)+A/(1+i)²+A/(1+i)^3+…+A/(1+i)^n soit A[1/(1+i)*(1-1^n/(1+i))/(1-1/(1+i))] donc le truc en italiguqe disparait car = à l’infini, et au final VA

= A/i=50/0.08=625€

– Q7 : le taux d’intérêt annuel i est à 10%

VA=A/i=50/0.1=500€

– Q8 : le taux d’intérêt annuel i est à 6%

Réponse : 

VA = 50/0.06 = 50*16.67 = 833.33  .

Exercice n°5

Un individu doit rembourser 1000 € d’annuités constantes A, pendant n = 2 années, d’une somme empruntée à un taux d’intérêt i = 5%.

– Q10 : Quelle était la somme empruntée VA ?

(Vous arrondirez à deux chiffres après la virgule chacun des résultats intermédiaires,ainsi que le résultat final).

Les deux annuités de 1000€ chacunes doivent être égales à la valeur actualisée de la somme empruntée

Réponse : 
VA = A/(1+i) + A/(1+i)^2 = 1000/(1+0.05) + 1000/(1+0.05)^2 = 1861.47

Exercice n°6

– Q11 : Quelle est la formule générale de la somme S d’une progression géométrique de n termes, de premier terme U1 et de raison q ?

Réponse : 
S = U1((1-q^n)/(1-q))

Q12 : 

On suppose maintenant que S est la valeur de la somme de 20 revenus annuels A = 5000 €, actualisés au taux d’intérêt i = 0,03. Quel est alors le montant de S ? 

A[(1/(1+i))*(1-1^n/(1+i))/(1-1/(1+i))]

Réponse : 
S =[(1/(1+i))*(1-1^n/(1+i))/(1-1/(1+i))]=74387.37 .

– Q13 : Quel est le montant A de chaque annuité de remboursement ?

Réponse (formule générale en toutes lettres seulement) : 
VA = A[]
1859.41=A[1/
A=1859.41/[cette expression]=1000€

Ou si on ne « veut pas utiliser cette expression » :

VA=A/(1+i)+A/(1+i)²=A[1/(1+i)+1/(1+i)]=A??????? (j’ai rien compris et pas pu noter)

Un industriel voudrait investir I = 1000 € dans l’achat d’un appareil qui pourra fonctionner pendant 3 ans (et ne vaudra ensuite plus rien). Le taux d’intérêt en vigueur est de 5% par an.

– Q15 :Quel devra être le montant annuel moyen minimum des bénéfices B (nets de tous leurs coûts) pour que l’industriel procède à cet achat ?

Réponse :(formule générale toute en lettres) : 
1000  = B1/(1+i) + B2/(1+i)^2 + B3/(1+i)^3 =B1/(1+0.05) + B2/(1+0.05)^2 + B3/(1+0.05)^3 = 1000/[&/(1+i)+1/(1+i)²+1/(1+i)^3]
et donc B = 367.21  .

Exercice n°9 :

Crise des subprimes. Un ménage a restauré une maison pour la louer. Leur dépense totale est 200 000€. Le taux d’intérêt i est de 3%.

– Q16 : Ils voudraient retrouver leur investissement en n = 20 années. Quel doit être le montant annuel A du loyer net de toutes charges pour retrouver exactement cette somme en 15 ans ?

Réponse:
A=13442 

– Q17 : Les loyers annuels de ce type de maison sont de 10 000 € et les locataires potentiels ne sont disposés qu’à payer ce prix. Le taux d’intérêt est toujours de 3%. Ne pouvant pas rembourser l’emprunt de 200 000€, ils décident de vendre cette maison. Quelle est la vraie valeur VA de cette maison ?

Réponse:
La vraie valeur de cette maison est :VA=154500 

TD4

Ex 1

Q1 A quelle interrogation répond le calcul des rendements d’échelle d’une fonction de production F(K;L)

Ce type de calcul répond à l’interrogation est-ce que « F(nK;nL) » = « nF(K;L) »

(une combinaison productive dont chacun des termes multipliés par n, exemple F(500;200) est égale à 10F(50;20) (une grosse et dix petite entreprise produisent-elles autant)

Q2 : Y=kn au cube, calculer F(2;1) et F(2;4)

Y=F(K;L)=K+L^3.    F(2;1)=2+(1^3)=2+1=3             F(4;2)=4+(2^3)=4+8=12

Q3 S’agit-il d’une fonction a rendement d’échelle décroissant/croissant/constant avec la taille des entreprises : « croissants »

Q4 Pourquoi ? Parce que « F(4;2) » = « 12 » est « supérieur » à « 2F(2;1) » = « 6 »

Ex 2

Q5 F(K;L) = 2

Calculer F(1;2) puis F(2;4)

F(K;L)=2K+L/2     F(1;2)=2*1+ 2/2 =3        F(2;4)=6

Q6 Qu’en déduisez vous : rendements d’échelle constants

Q7 : Pourquoi ? Parce F(2;4) = 6 est égal à 2F(1;2)

Exercice 3

Q8 Soit la fonction de production y=F(K;L)=4K+ 8/L²

Calculer F(1;2) puis F(2;4). F(1;2)=6 et F(2;4)=8.5

Q9 Qu’en déduisez-vous au sujet des rendements d’échelle : décroissants

Q10 Pourquoi : F(2;4) = 8.5 est inférieur à 2F(1;2)

Exercice 4

y=K²+3L Calculer

F(2;5)=19     F(2;6)=22     F(2;7)=25

Calculer la productivité moyenne du capital (attention piège ce n’est pas marginale)

PMK(2;5)=(F(2;5))/2=19/2=9.5       PMK(2;6)=F(2;6)/2=11    PMK(2;7)=F(2;7)/2=12.5

Qu’en déduisez-vous au sujet de l’évolution de la productivité moyenne de cette fonction de production

La productivité moyenne du capital a augmenté parce que la quantité de travail a augmenté

Pourquoi

PmL(2;6)=F(2;6)-F(2;5)=22-19=3

Ce qui signifie que la sixième unité de travail supplémentaire a permis d’augmenter la production de trois unités par rapport à ce qu’avait permis la 5e

PmL(2;7)=F(2;7)-F(2;6)=25-22=3

Que constatez-vous au sujet de l’évolution de la PmL et pourquoi/ Je constate que la productivité marginale du travail est constante parce qu’elle est égale à 3 quand la quantité de travail augmente et que celle du capital reste constante/identique

Exercice 5 dérivés partiels (on ne considère qu’il n’y a que K ou que L comme travail, l’autre quantité est constante, et la dérivée d’une constante est toujours 0)

F(K;L)=2K+3L. Calculer la dérivée partielle par rapport au K puis celle par rapport au L.

F’K(K)=2     F’L(L)=3

F(K;L)=2K*3L     F’K(K)=2*(3L)=6L      F’L(L)=3*(2K)=6K

Q3 F(K;L)=(Kα;Fβ) avec (alpha+beta)=1 Caluler la dérivée partiel F’K(K) et F’L(L)

on  a    ax^α=α*a*x^(α-1)

F’K(K)=αL^β * K^(α-1)=α L^β K^-β=α L^β/K^β = α(L/K)^β

F’L(L)=βK^α L^(β-1)=βK^α L^-β= βK^α/L^α=β(K/L)^α

TD5 du 19/03/2019

Q18

F(K;L)=K^aL^b

G’K(K)=aL^bK^(a-1)=aL^bK^-b et comme on a a+b=1 on a a-1=-b. donc on a = a(L^b)/(K^b)=a(L/K)^b

 

(car regle de calcul : K^-1=1/K alors K^-b=1/(K^b)

Mesurer de combien augmente la production quand le capital augmente d’une unité. quand le capital augmente la productivité marginal du capital. Quand K augmente le rapport L/K diminue donc la productivité marginal du capital diminue. Quand L augmente la productivité marginale du capital augmente. mettre + de main d’oeuvre sur un nombre de machines accroît la productivité du capital (ex Allemagne)

Pour le travail

G’L(L)=bK^aL^(b-1)=bK^aL^-a=b(K/L)^a

G’L(L)= b(K/L)^a

L’accroissent de travailleurs réduit la productivité marginale du travail et donc fait baisser le niveau des salaires

Préparation des exercices de lundi :

Soit une fonction de productivité moyenne égale à 8L+5. Quelle est la fonction de production Y=F(K;L) dont est déduite cette fonction de productivité moyenne? Réponse :

On sait que Pmoyenne=Y/L, on en déduit que Y=F(K;L)=Pmoyenne*L=(8L+5)L=8L²+5L.

Définissez la fonction de productivité marginale

Pmarginale=F’L(L)=16L+5

La productivité marginale est supérieure à la productivité moyenne

(la fonction de cob douglas par tete est comme la fonction moyenne de cob douglas (??))

Soit la fonction cobb douglas par tete Y=k^0.3=(K/L)^0.3

quelle est la fonction cob douglas globale dont est tiré cette fonction de cob douglas par tete

y=Y/L=(K^αL^β)/L=(K^0.3L0.7)/L=K^0.3L^0.7L^-1=K^0.3L^-0.3=K/(L^0.3)=(K/L)^0.3=k^0.3

Représentation d’un cobb douglas par tête: la courbe est penchée vers l’horizontal, rendement du capital par tête est décroissant. 1€de capital par tête va accroître Y mais moins que l’€ précédent.

y=k^alpha=k^0.3=200^0.3

On devra caculer les productivités marginales pour k=200, ce qui se peut se traduire par une question : quelle est la pente de la tengeante au point de coordonnées Y K. or la pente de la tengeante=valeur dérivée premiere de la fonction de production k^0.3=valeur productivité marginale capital par tête. Donc ici

dérivée peremiere y’=0.3k^(0.3-1)=0.3k^-0.7=0.3/k^0.7

le progres technique a permis d’accroite de 30% l’efficacité de cette fonction de production. quelle est la nouvelle equation de cette fonction cobb douglas par tete qui a intégré ce progres technique de 30%? La nouvelle equation est : y=1.3k^0.3. graphiquement la fonction sera au dessus de l’autre. quelle est la nouvelle valeur de la production par tete (soit l’ordonnée du pt y;k) on en conclut qu’avec le même capital par tête on obtient plus de production grace au progres technique. on peut alors calculer de nouvelles pentes de tengeantes.

Pourquoi 200? le capital par tête y est stabilisé, si on investit au dela les nouvelles unités de capital investies ne créront pas une valeur au moins égales au taux d’intéret, le capital investit ne pourra même pas payer l’intéret nécessaire payé pour le mettre en oeuvre.

au final pour accroite le capital par tête : soit baisser les taux d »interet (role de la bce) pour maximiser les taux de profits / soit mettre en place des politiques de stimulation de l’innovation et donc du progres technique (la courbe de la fonction de production s’élève, donc le point d’équilibre va être cherché plus haut)

TD6 du 26/03/2019

Pour lundi cobb douglas et les coûts de production

Y=K^0.3L^0.7

beta=1-alpha=1-0.3=0.7

F(5000;10)   Y=5000^0.3*10^0.7=64.52

Productivité marginale du capital

F’K(5000)=  ? il faut d’abord calculer F’K(K)=0.3K^(0.3-1)L^0.7=0.3K(^-0.7)L^0.7=0.3(L^0.7/K^0.7)=0.3(L/K)^0.7 (résultat final)

Donc F’K(5000)=0.3(10/5000)^0.7=0.0039 (on nous précisera a combien arrondir lors du TD)

Productivité marginale du travail

F’L(L)=0.7K^0.3*L(0.7-1)=0.7K^0.3*L^-0.3=0.7(K^0.3/L^0.3)=0.7(K/L)^0.3*

Donc F’L(10)=0.7(5000/10)^0.3=4.52 (si on augmente une unité de travail, la production augmente de 4.52)

(soit le supplément de la production Y qui résulterait de l’accroissement d’une unité de qqchose)

Quelle est la fonction par tête obtenue avec cette fonction de production?

y=Y/L=(K^0.3*L^0.7)/L=K^0.3L^0.3L^-1=K^0.3L^-0.3=K^0.3/L^0.3=(K/L)^0.3=k^0.3

Une telle fonction se représente par une courbe croissante à taux décroissant. Pourquoi ? car elle a une dérivée première positive et une dérivée seconde négative. En effet y=k^0.3, donc y’=0.3k^(0.3-1)=0.3k^(-0.7)=0.3(1/k^0.7) donc il y aura toujours un accroissement de la fonction, donc les rendements sont « on ne sait pas encore car pour ça il faut qu’on regarde à quel rythme se fait l’accroissement, donc on calcule la dérivée seconde : est-ce que ça va augmenter à chaque fois de plus en plus ou de moins en moins, bien que les accroissements soient positifs? » or la dérivée seconde est y »=0.3*-0.7*k^(-0.7-1). Comment déterminer si l’accroissement de l’accroissement s’accroît ? si l’accroissement de l’accroissement est négatif = l’accroissement diminue. La courbe s’élève à taux décroissant car on a affaire à une fonction à rendement décroissant car la dérivée première est la dérivée seconde est négative quelque soit les valeurs de ??. Si la dérivée seconde était positive on aurait un rendement croissant (le capital en augmentant devient de plus en plus efficace).

Le progrès technique a accru de 20% l’efficacité de cette fonction de production par tête K^0.3. Quelle est la valeur de la production par tête atteinte par cette amélioration technique? y=1.2K^0.3L^0.7=1.2*5000^0.3*10^0.7=1.2*64.52=65.54

 

Y=F(K;L)=K^0.4L^0.6

F(5000;10)=5000^0.4 10^0.6=120.11

F’K(5000)=0.4(10/5000)^0.6=0.0096

F’L(10)=0.6(5000/10)^0.4=7.21

F’K(K)*K+F’L(L)=0.0096*5000+7.21*10=48+72.1

=(0.0039*5000)+(4.52*10)=19.5+45.2=64.7

La théorie libérale de la répartition de la valeur produite Y, c’est qu’une part de Y va à ceux qui amènent le capital, et l’autre à ceux qui amènent le travail.

Alpha (profit des capitalistes) et beta (salaires du travail)

TD7 du 02/04/2019

CT(Q)=0.03Q^3-2.9Q²+100Q

Cm(Q)=CT'(Q)=0.09Q²-5.8Q+100

Cm'(Q)=0.18Q-5.8=0   =>  Q=5.8/0.18=32.22

CM(Q)=CT(Q’)/Q=(0.03Q^3-2.9Q²+100Q)/Q=0.03Q²

La valeur de la dérivée d’une fonction est égale à la valeur de la tengeante

Au sommet la pente de la tangente = 0 = dérivée première de la fonction nulle

On cherche la dérivée de la fonction de coût moyen pour laquelle cette dérivée est nulle

CM'(Q)=0.06Q-2.9=0   => Q=2.9/0.06=48.33

Deuxième méthode CM=Cm, quelle est la Q ou ils sont égaux?

CM(Q)=Cm(Q)=0,03Q2 – 2,9Q + 100 = 0,09Q2 – 5,8Q + 100=(0.09Q²-0.03Q²)-5.8Q+2.9Q=0.06Q²-2.9Q=0

On met Q en facteur, ce qui fait : =Q(0.06Q-2.9)=0

Il existe donc deux solutions qui annulent cette équation :
– soit Q = 0 (si rien n’est produit le coût est nul et donc le minimum du coût moyen est lui aussi nul).
– Soit (0,06Q – 2,9) = 0 —> Q = 2,9/0,06 = 48,33. On retrouve bien le même résultat qu’avec la première méthode de calcul du minimum du coût moyen.

 

La quantité est de 48.33

P1 = CM(48,33) = 0,03(48,33)3 – 2,9(48,33)2 + 100(48,33) = 29,92

On remplace Q par la quantité. Le prix est de 29.92

La quantité est de 48.33 car n’importe quelle autre quantité aurait un coût moyen plus élevé. On est obligé d’avoir le prix au moins égal au minimum du coût moyen sinon on vend à perte.

Donc la recette =0 car on produit pour 3€ et on vend pour 3€ donc on ne fait aucun bénéfice. L’entreprise peut continuer à fonctionner, elle couvre ses dépenses mais ne fait pas de bénéfices.

La notion de cout est récirproque de la productivité, si elle augmente de 30% le cout augmente de 30% (donc aussi les couts moyens et marginal)

Economie Générale (TD)

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